Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)

Nama : Aulia Maheswari

Kelas : X MIPA 3

Absen : 6

Matematika wajib, SMAN 63 Jakarta

SPLKDV

Dan dalam menyelesaikan persoalan SPLKDV, kita harus menemukan solusinya dengan menggunakan sistem persamaan

Bentuk umum seperti berikut ini:

y = ax + b (bentuk linear)

y = px² + qx + r (bentuk kuadrat)

Keterangan:

Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.

Cara Penyelesaian SPLKDV

Berikut adalah tahapan atau langkah-langkah dalam menyelesaikan persoalan SPLKDV, diantaranya ialah sebagai berikut:

Subtitusikan y = ax+b menjadi y = px² + qx + r sehingga akan terbentuk persamaan kuadrat.
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yaitu x1 dan x2.
Subtitusikan x1 dan juga x2 ke dalam bentuk persamaan bentuk linear untuk memperoleh y1 dan y2.
Himpunan penyelesaiannya yaitu {(x1,y1),(x2,y2)}.

Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dengan bentuk kuadrat mempunyai tiga kemungkinan, diantaranya yaitu:

Apabila D>0, maka garis serta parabola berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
Apabila D = 0, maka garis serta parabola berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
Apabila D < 0, maka garis seta parabola tidak berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }.

Metode Substitusi

Berikut ini adalah contoh dari sistem persamaan dua variabel:

x – y = -4 ……………. Persamaan 1

x² – y = -2 ……………. Persamaan 2

Penyelesaian dari sistem ini adalah pasangan berurutan yang di mana akan memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem tersebut.

Proses dalam menemukan himpunan dalam metode atau penyelesaian ini disebut sebagai menyelesaikan sistem persamaan.

Sebagai contoh, pasangan berurutan (–1, 3) merupakan salah satu selesaian dari sistem ini. Untuk menguji hal ini, maka akan kita substitusi –1 ke x serta 3 ke y dalam masing-masing persamaan.

Menguji (–1, 3) ke dalam Persamaan 1 serta Persamaan 2:

x – y = -4 → Tulis persamaan 1.

-1 – 3 = -4 → Substitusi -1 ke x dan 3 ke y.

-4 = -4 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 1.

x² – y = -2 → Tulis persamaan 2.

(-1)² – 3 = -2 → Substitusi -1 ke x dan 3 ke y.

1 – 3 = -2 → Sederhanakan.

-2 = -2 → Penyelesaian teruji dalam persamaan 2.

Di sini akan kita pelajari dua macam cara dalam menyelesaikan sistem persamaan linear serta kuadrat dua variabel. Kita mulai dengan menggunakan metode substitusi.

Metode Substitusi

Selesaikan satu persamaan, sehingga akan ada satu variabel pada persamaan tersebut yang dinyatakan ke dalam bentuk variabel lainnya.
Substitusi bentuk yang diperoleh dalam tahap pertama ke dalam persamaan lainnya untuk memperoleh persamaan dalam satu variabel.
Selesaikan persamaan yang didapatkan pada tahap ke dua.
Substitusi balik nilai yang kita dapatkan di tahap tiga ke dalam persamaan yang didapatkan di tahap pertama guna menemukan nilai variabel lainnya.
Uji selesaian ini apakah memenuhi masing-masing persamaan dalam sistem.

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini yaitu:

A. {(2,-1),(3,0)} B. {(1,2),(3,0)}
C. {(-1,0),(2,3)} D. {(2,3),(0,-1)}
E. {(0,3),(-1,2)}

Jawab:

Substitusikan y = x – 3 ke y = x² – 4x + 3, sehingga akan kita dapatkan:

x – 3 = x² – 4x + 3
<=> -x² + 5x – 6 = 0
<=> x² – 5x + 6 = 0
<=> (x – 3)(x – 2) = 0
<=> x1 = 3 atau x2 = 2

Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 – 3 = 0

Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 3 = -1

Sehingga, himpunan penyelesaiannya yaitu {(2,-1),(3,0)}Maka jawaban yang paling tepat adalah: A

2. Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)

Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x serta y pada umumnya dinyatakan seperti berikut ini:

y = ax² + bx + c
y = px² + qx + r

Keterangan:

Dengan a, b, p, q, r merupakan bilangan real.

Cara Penyelesaian SPK

Substitusikan persamaan yang satu ke dalam persamaan yang lainnya sehingga akan membentuk persamaan kuadrat.
Menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga akan kita dapatkan himpunan penyelesaiannya, yaitu: {(x1,y1),(x2,y2)}

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan kuadrat mempunyai 6 kemungkinan, diantaranya yaitu:

Apabila D > 0, maka kedua parabola akan berpotongan di dua titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya.
Apabila D = 0, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya
Apabila D < 0, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga tidak memiliki himpunan penyelesaian atau { }
Apabila a = p, b ≠ q, maka kedua parabola akan berpotongan di satu titik yang di mana adalah himpunan penyelesaiannya
Apabila a = p, b = q dan c ≠ r, maka kedua parabola tidak akan berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya { }
Apabila a = p, b ≠ q dan c = r, maka kedua parabola berimpit sehingga anggota dari himpunan penyelesaiannya tak berhingga penyelesaiannya.

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini adalah:

A. {(5,2),(2,3)} B. {(2,-5),(2,-3)}

C. {(-2,5),(2,-3)} D. {(-2,-3),(2,-5)}

E. {(-3,5),(2,-2)}

Jawab:

Substitusikan persamaan dari y = x² -2x – 3 ke dalam persamaan y = -x² -2x + 5, sehingga:

x² -2x – 3 = -x² -2x + 5
<=> 2x² -8 = 0
<=> x² – 4 = 0
<=> (x – 2)(x + 2) = 0
<=> x = 2 atau x = -2

Untuk x = 2
y = x² – 2x – 3
y = (2)² -2 (2) – 3
y = 4 – 4 – 3
y = -3

Untuk x = -2
y = x² – 2x – 3
y = (-2)² -2 (-2) – 3
y = 4 + 4 – 3
y = 5

Maka dari itu, himpunan penyelesaiannya dari soal di atas adalah {(-2,5),(2,-3)}Sehingga jawaban yang paling tepat adalah: C.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

contoh soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari dua persamaan kuadrat dan linear dua variabel berbentuk y = 3x + 4 dan y = x² – 7x + 9?

Pembahasan.
Dari contoh soal ini terdapat dua persamaan yang berupa:
y = 3x + 1 …..(persamaan i)
y = x² – 7x + 9 …..(persamaan ii)

Persamaan (i) disubstitusikan ke persamaan (ii) atau sebaliknya. Kemudian diteruskan dengan operasi aljabar. Untuk itu hasilnya akan seperti di bawah ini:
x² – 5x + 9 = 3x + 1
x² – 7x + 9 + 3x + 1 = 0
x² – 6x + 8 = 0

Langkah selanjutnya pada contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel ialah memfaktorkan persamaan baru yang terbentuk. Maka:
x² – 6x + 8 = 0
(x – 4)(x – 2) = 0
x – 4 = 0 atau x – 2 = 0
x = 4 atau x = 2

Selanjutnya mensubstitusikan nilai x ke persamaan (i) untuk memperoleh nilai y1 dan y2. Sehingga hasilnya akan seperti berikut:
Untuk x = 4, maka,
y = 3x + 1
y = 3(4) + 1
y = 13 → sehingga persamaan (x, y) akan menjadi (4, 13)

Untuk x = 2
y = 3x + 1
y = 3(2) + 1
y = 7 → sehingga persamaan (x, y) akan menjadi (2, 7)
Jadi himpunan penyelesaiannya ialah Hp = {(4, 13), (2, 7)}.

2. Tentukan himpunan penyelesaian SPLK jika persamaannya berupa y = x² – 2 dan x – y = 4?

Pembahasan.
Contoh soal sistem persamaan linear kuadrat dua variabel ini dapat diselesaikan dengan cara seperti berikut:
x – y = 4
y = x – 4

Nilai y = x – 4 kemudian disubstitusikan ke persamaan y = x² – 2. Untuk itu hasilnya akan seperti berikut:
x – 4 = x² – 2
x² – 2 – x + 4 = 0
x² – x + 2 = 0

Kemudian menggunakan cara diskriminan karena pemfaktorannya sulit dilakukan. Sehingga:
x² – x + 2 = 0, dimana a = 1, b = -1 dan c = 2
D = b² – 4ac
D = (−1)² – 4(1)(2)
D = 1 – 8
D = −7
Jadi himpunan penyelesaian SPLK ini tidak dimiliki sehingga dapat ditulis dalam bentuk { } karena nilai D < 1.

3. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

y = x2 – 1

x – y = 3

Penyelesaian:

Persamaan x – y = 3 dapat kita tulis ulang menjadi bentuk berikut.

y = x – 3

subtitusikan y = x – 3 ke dalam persamaan y = x2 – 1 sehingga kita peroleh:

⇒ x – 3 = x2 – 1

⇒ x2 – x – 1 + 3 = 0

⇒ x2 – x + 2 = 0

Persamaan kuadrat di atas sulit untuk difaktorkan. Jika kita hitung nilai diskriminannya dengan nilai a = 1, b = −1, dan c = 2, maka kita peroleh:

D = b2 – 4ac

D = (−1)2 – 4(1)(2)

D = 1 – 8

D = −7

Karena diskriminannya negatif (D < 1) maka persamaan kuadrat itu tidak memiliki penyelesaian. Oleh karena itu, SPLK di atas tidak memiliki penyelesaian sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis ∅. Interpretasi geometri dari SPLK ini adalah tidak adanya titik singgung maupun titik potong antara parabola dan garis lurus. Hal ini dapat kalian lihat pada gambar di bawah ini.

grafik penyelesaian SPLK (sistem persamaan linear dan kuadrat)

4. Carilah himpunan penyelesaian SPLK berikut, kemudian gambarkan sketsa tafsiran geometerinya.

x + y + 2 = 0

y = x2 – x – 2

Penyelesaian:

Persamaan x + y + 2 = 0 dapat kita tuliskan sebagai berikut.

y = −x – 2

Subtitusikan nilai y = −x – 2 ke persamaan y = x2 – x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ −x – 2 = x2 – x – 2

⇒ x2 – x + x – 2 + 2 = 0

⇒ x2 = 0

⇒ x = 0

Subtitusikan nilai x = 0 ke persamaan y = −x – 2 sehingga diperoleh:

⇒ y = −(0) – 2

⇒ y = –2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(0, −2)}. Tafsiran geometrinya berupa titik singgung antara garis lurus dan kurva parabola, yaitu di titik (0, −2) seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut ini.

5. Carilah himpunan penyelesaian dari SPLK berikut ini.

x + y – 1 = 0 ……….bagian linear

x2 + y2 – 25 = 0 …..bagian kuadrat berbentuk implisit yang tak dapat difaktorkan

Jawab:

Pada bagian persamaan linear, kita nyatakan y dalam x yaitu sebagai berikut.

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ y = 1 – x

Lalu subtitusikan persamaan y = 1 – x ke persamaan kuadrat x2 + y2 – 25 = 0, sehingga kita peroleh:

⇒ x2 + y2 – 25 = 0

⇒ x2 + (1 – x)2 – 25 = 0

⇒ x2 + 1 – 2x + x2 – 25 = 0

⇒ 2x2 – 2x – 24 = 0

⇒ x2 – x – 12 = 0

⇒ (x + 3)(x – 4) = 0

⇒ x = −3 atau x = 4

Setelah nilai-nilai x kita peroleh, selanjutnya subtitusikan x = −3 atau x = 4 ke persamaan linear x + y – 1 = 0 yaitu sebagai berikut.

● untuk x = −3 diperoleh:

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ −3 + y – 1 = 0

⇒ y – 4 = 0

⇒ y = 4

Kita peroleh himpunan penyelesaian (−3, 4).

● untuk x = 4 diperoleh:

⇒ x + y – 1 = 0

⇒ 4 + y – 1 = 0

⇒ y + 3 = −3

⇒ y = 4

Kita peroleh himpunan penyelesaian (4, −3).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(−3, 4), (4, −3)}.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Daftar Pustaka :

http://www.antotunggal.com/2021/03/sistem-persamaan-linear-kuadrat-dua-variabel-splkdv.html#
https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2018/06/kumpulan-contoh-soal-dan-jawaban-splk.html
https://www.yuksinau.id/sistem-persamaan-linier-kuadrat-dua-variabel/

Cari Blog Ini

Aulia Maheswari